Question

已知函数f（x）=x+

4

x

（1）证明：f（x）在区间（0，2）单调递减．
（2）求函数f（x）在（-∞，0）上最大值．

Answer 1

分析：（1）用定义证明f（x）在区间（0，2）是减函数；
（2）先判定f（x）在（-∞，-2）是增函数，在（-2，0）上是减函数，从而求出最大值．

解答：证明：（1）∵f（x）=x+

4

x

（且x≠0），∴任取x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

4

x1

）-（x₂+

4

x2

）=（x₁-x₂）+（

4

x1

-

4

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

；
∵0＜x₁＜x₂＜2，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，∴x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是（0，2）上的减函数；
（2）∵f（x）=x+

4

x

（且x≠0），
∴f，（x）=1-

4

x2

，令f，（x）=0，则x=±2；
当x＜-2时，f，（x）＞0，f（x）是增函数；当0＞x＞-2时，f，（x）＜0，f（x）是减函数；
∴当x=-2时，f（x）在（-∞，0）上有最大值f（x）_max=-2+

4

-2

=-4．

点评：本题考查了用定义或导数证明函数的单调性，以及利用单调性求函数最值的问题，是基础题．