Question

如图，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°．

(1)求证：EF⊥平面BCE；

(2)设线段CD，AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，BC⊥AB，所以BC⊥平面ABEF，所以BC⊥EF．又因为△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°． 　　由∠BEF＝∠AEB＋∠AEF＝45°＋45°＝90°，知EF⊥BE． 　　因为BC平面BCE，BE平面BCE，BC∩BE＝B， 　　所以EF⊥平面BCE． 　　(2)取BE的中点N，连接CN，MN．因为P，M分别是CD，AE的中点，所以MN＝AB＝PC，且MN∥AB∥PC，所以四边形PMNC为平行四边形，所以PM∥CN．因为CN平面BCE，PM平面BCE，所以PM∥平面BCE． 　　点评：一般地，线线垂直(平行)或面面垂直(平行)都可转化为线面垂直(平行)．同学们要学会灵活应用判定定理和性质定理解决问题．