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    定义变换T：
    cosθ•x+sinθ•y=x′
    ′sinθ•x-cosθ•y=y′
    可把平面直角坐标系上的点P（x，y）变换到这一平面上的点P′（x′，y′）．特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P'与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点．
    （1）若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为2
    		2
    ，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2．求该椭圆C的标准方程．并求出当θ=arctan
    3
    4
    时，其两个焦点F1、F2经变换公式T变换后得到的点F1′和F2′的坐标；
    （2）当θ=arctan
    3
    4
    时，求（1）中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标；
    （3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T：
    cosθ•x+sinθ•y=x′
    ′sinθ•x-cosθ•y=y′
    （θ≠
    kπ
    2
    ，k∈Z）下的不动点的存在情况和个数．
    分析：（1）设椭圆C的标准方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），求出c，a，b然后结合定义变换T，求出点F1′和F2′的坐标．
    （2）θ=arctan
    3
    4
    时，利用（1）中的椭圆C在变换T下，点P（x，y）∈C，根据椭圆方程求出的不动点的坐标；
    （3）设P（x，y）是双曲线在变换下的不动点，推出
    y
    x
    =
    1-cosθ
    sinθ
    =
    sinθ
    1+cosθ
    =tan
    θ
    2
    ，设双曲线方程为
    x2
    m
    +
    y2
    n
    =1    （mn＜0），y=tan
    θ
    2
    x    代入，推出
    n+mtan2
    θ
    2
    mn
    x2=1     讨论mn＜0，故当n+mtan2
    θ
    2
    =0    时，方程
    n+mtan2
    θ
    2
    mn
    x2=1    无解；
    当n+mtan2
    θ
    2
    ≠0    时，要使不动点存在，则需x2=
    mn
    n+mtan2
    θ
    2
    ＞0    ，
    因为mn＜0，故当n+mtan2
    θ
    2
    ＜0    时，双曲线在变换T下一定有2个不动点，否则不存在不动点．
    进一步分类：
    （i）当n＜0，m＞0下一定有2个不动点；
    （ii）当n＞0，m＜0时，双曲线在变换T下一定有2个不动点．
    解答：解：（1）设椭圆C的标准方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），
    由椭圆定义知焦距2c=2
    		2
    ?c=
    		2
    ，即a2-b2=2①．
    又由条件得a2+b2=4②，故由①、②可解得a2=3，b2=1．
    即椭圆C的标准方程为
    x2
    3
    +y2=1    ．
    且椭圆C两个焦点的坐标分别为F1(-
    		2
    ，0)    和F1(
    		2
    ，0)    ．
    对于变换T：
    cosθ•x+sinθ•y=x′
    ′sinθ•x-cosθ•y=y′
    ，当θ=arctan
    3
    4
    时，
    可得
    4
    5
    x+
    3
    5
    y=x′
    3
    5
    x-
    4
    5
    y=y′

    设F1′（x1，y1）和F2′（x2，y2）分别是由F1(-
    		2
    ，0)    和F1(
    		2
    ，0)    的坐标由变换公式T变换得到．于是，
    x1=
    4
    5
    •(-
    		2
    )+
    3
    5
    •0=-
    4
    		2
    5
    y1=
    3
    5
    •(-
    		2
    )-
    4
    5
    •0=-
    3
    		2
    5
    ，即F1′的坐标为(-
    4
    		2
    5
    ，-
    3
    		2
    5
    )    ；
    又
    x2=
    4
    5
    •
    		2
    +
    3
    5
    •0=
    4
    		2
    5
    y2=
    3
    5
    •
    		2
    -
    4
    5
    •0=
    3
    		2
    5
    即F2′的坐标为(
    4
    		2
    5
    ，
    3
    		2
    5
    )    ．
    （2）设P（x，y）是椭圆C在变换T下的不动点，则当θ=arctan
    3
    4
    时，
    有
    4
    5
    x+
    3
    5
    y=x
    3
    5
    x-
    4
    5
    y=y
    ?x=3y，由点P（x，y）∈C，即P（3y，y）∈C，
    得：
    (3y)2
    3
    +y2=1
    y=±
    1
    2
    x=3y
    ，因而椭圆
    的不动点共有两个，分别为(
    3
    2
    ，
    1
    2
    )    和(-
    3
    2
    ，-
    1
    2
    )    ．
    （3）设P（x，y）是双曲线在变换
    下的不动点，则由
    cosθ•x+sinθ•y=xsinθ•x-cosθ•y=y
    ?
    sinθ•y=(1-cosθ)•xsinθ•x=(1+cosθ)•y

    因为θ≠
    kπ
    2
    ，k∈Z，故
    y
    x
    =
    1-cosθ
    sinθ
    =
    sinθ
    1+cosθ
    =tan
    θ
    2
    ．
    不妨设双曲线方程为
    x2
    m
    +
    y2
    n
    =1    （mn＜0），由y=tan
    θ
    2
    x    代入得
    则有
    x2
    m
    +
    (tan
    θ
    2
    •x)    2
    n
    =1?
    n+mtan2
    θ
    2
    mn
    x2=1    ，
    因为mn＜0，故当n+mtan2
    θ
    2
    =0    时，方程
    n+mtan2
    θ
    2
    mn
    x2=1    无解；
    当n+mtan2
    θ
    2
    ≠0    时，要使不动点存在，则需x2=
    mn
    n+mtan2
    θ
    2
    ＞0    ，
    因为mn＜0，故当n+mtan2
    θ
    2
    ＜0    时，双曲线在变换T下一定有2个不动点，否则不存在不动点．
    进一步分类可知：
    （i）当n＜0，m＞0时，即双曲线的焦点在
    轴上时，?n+mtan2
    θ
    2
    ＜0?tan2
    θ
    2
    ＜-
    n
    m
    ；
    此时双曲线在变换
    下一定有2个不动点；
    （ii）当n＞0，m＜0时，即双曲线的焦点在y轴上时，?n+mtan2
    θ
    2
    ＜0?tan2
    θ
    2
    ＞-
    n
    m
    ＞0    ．
    此时双曲线在变换T下一定有2个不动点．
    点评：本题考查解椭圆的应用，椭圆的简单性质，考查分析问题解决问题的能力，转化思想，计算能力，分类讨论思想，是难题，创新题．
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