Question

已知数列{a_n}中，a_n=

(2n)2

(2n-1)(2n+1)

，S_n为其前n项的和，则 

lim

n→∞

Sn

n

=

1

．

Answer 1

分析：据数列的通项公式的特点：是分式形式，进行分子常数化，分母是等差数列两项的乘积，所以利用裂项法求出数列的前n项和，即可求得结果．

解答：解：a_n=

(2n)2

(2n-1)(2n+1)

=

4n2

4n2-1

=1+

1

4n2-1

=1+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴S_n=n+

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

 )
=n+

1

2

(1-

1

2n+1

)=n+

n

2n+1

，
∴

lim

n→∞

Sn

n

=

lim

n→∞

(1+

1

2n+1

)=1
故答案为：1

点评：考查求数列的前n项和的方法：关键是看通项的特点：当通项为分式形式，且分子是常数，分母是等差数列两项的乘积是采用的方法是裂项求和，对通项公式的处理是解题的关键，考查运算能力，属中档题．