Question

设椭圆C₁：的一个顶点与抛物线C₂：的焦点重合，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（I）抛物线C：的焦点为（0，）
∵椭圆C₁：的一个顶点与抛物线C₂：的焦点重合
∴椭圆的一个顶点为（0，），即b=
∵e===，∴a=，
∴椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交．
①当直线斜率不存在时，M（1，），N（1，-），∴，不合题意．
②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
将直线方程代入椭圆方程可得：（2+3k²）x²-6k²x+4k²-6=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=+k²（-+1）==-1
∴k=±，
故直线l的方程为y=（x-1）或y=-（x-1）．
分析：（I）根据抛物线的焦点确定椭圆的顶点，结合离心率，即可求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交．分两种情况讨论：①当直线斜率不存在时，经检验不合题意；②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量条件，即可求得直线l的方程．
点评：本题重查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查向量知识的运用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．