Question

已知函数f(x)=

1-x

mx

+1nx，且m＞0．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求m的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，可得f'（x）≥0在[1+∞）上恒成立，分离参数，即可求得m的取值范围；
（Ⅱ）求导函数，再分类讨论，确定函数的单调性，从而可确定函数f（x）在[1，e]的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)=-

1

mx2

+

1

x

=

mx-1

mx2

（m＞0）．        …（1分）
因为函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以f'（x）≥0在[1+∞）上恒成立，
所以mx-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
所以m≥

1

x

在[1，+∞)上恒成立．
所以m的取值范围是[1，+∞）．                        …（3分）
（Ⅱ）令f′（x）=0，∴x=

1

m

（m＞0）．                …（4分）
①若

1

m

＜1，即m＞1，则x∈[1，e]时，有f'（x）＞0，所以f（x）在[1，e]上递增，
所以f（x）的最大值是f(e)=

1-e+me

me

；f(x)的最小值是f（1）=0…（6分）
②若1≤

1

m

＜e，即

1

e

＜m≤1，则x∈(1，

1

m

)时，f′（x）＜0，所以f（x）在(1，

1

m

)上递减；x∈(

1

m

，e)时，f′（x）＞0，所以f（x）在(

1

m

，e)上递增．
所以f（x）的最小值是f(

1

m

)=

m-1

m

-lnm．
又f(1)=0，f(e)=

1-e+me

me

，
所以当1-e+me＞0，即1-

1

e

＜m≤1时，有f（e）＞f（1），所以f（x）的最大值是f(e)=

1-e+me

me

；
当1-e+me≤0，即

1

e

＜m≤1-

1

e

时，有f（e）≤f（1），
所以f（x）的最大值是f（1）=0．                  …（9分）
③若

1

m

≥e，即0＜m≤

1

e

，则x∈[1，e]时，有f'（x）＜0，
所以f（x）在[1，e]上递增，
所以f（x）的最大值是f（1）=0；f（x）的最小值是f(e)=

1-e+me

me

．…（11分）
所以f（x）的最大值是

1-e+me me ，m＞1- 1 e 0，0＜m≤1- 1 e

，f（x）的最小值是

0，m＞1 m-1 m -1nm， 1 e ＜m≤1 1-e+me me ，0＜m≤ 1 e

…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导，确定分类标准是关键．