Question

已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是

[　　]

A．若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβ

B．若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβ

C．若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβ

D．若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ

Answer 1

答案：D
解析：

解法1：(特殊值法) 　　取α＝60°，β＝30°，满足sinα＞sinβ，此时有cos60°＜cos30°，所以A不正确． 　　取α＝120°，β＝150°，满足sinα＞sinβ，此时有tan120°＜tan150°，所以B不正确． 　　取α＝210°，β＝240°，满足sinα＞sinβ，此时有cos210°＜cos240°，所以C不正确． 　　∴应选D． 　　解法2：(直接解法) 　　若α，β∈，则由sinα＞sinβ得α＞β，此时有cosα＜cosβ，所以A不正确． 　　若α，β∈()，则由sinα＞sinβ得α＜β，此时有tanα＜tanβ，所以B不正确． 　　若α，β∈，则由sinα＞sinβ得α＜β，此时有oosα＜cosβ，所以C不正确． 　　∴应选D． 　　解法3：(借助于单位圆，运用三角函数定义来解) 　　如图，设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)分别是角α、β的终边与单位圆的交点，则 　　(1)当α、β为第一象限的角时， 　　∵sinα＝y1，sinβ＝y2，sinα＞sinβ， 　　∴y1＞y2，∴x1＜x2， 　　而cosα＝x1，cosβ＝x2，∴cosα＜cosβ． 　　∴A不正确． 　　(2)当α、β为第二象限的角时，知 　　y1＞y2＞0，　　　　① 　　∴x2＜x1＜0，∴－x2＞－x1＞0，　　　　② 　　 　　而x1x2＞0(∵x2＜x1＜0)，且依不等式性质及①②，有 　　－x2y1＞－x1y2，即x2y1－x1y2＜0， 　　将x1x2＞0，x2y1－x1y2＜0代入③，有tanα－tanβ＜0， 　　∴tanα＜tanβ．∴B不正确． 　　(3)当α、β为第三象限角时，采用同样的方法，可得C也不正确(请同学自己推出来)．∴应选D．