Question

在数列{an}中，a1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*
（I）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（II）设bn=

an

2n

，求数列{bn}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）变形原条件可得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），易确定等比关系；（II）由（I）可得{a_n}的通项公式，进而可得{b_n}的通项公式，由错位相减法易得答案．

解答：解：（I）由题设a_n+1=2a_n-n+1，可得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
又a₁-1=1，所以数列{a_n-n}首项为1，公比为2的等比数列；
（II）由（I）可知a_n-n=2^n-1，于是数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1+n，
所以数列b_n=

an

2n

=

1

2

+n(

1

2

)n，
所以S_n=

n

2

+[1•

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+…+（n-1）

1

2n-1

+n

1

2n

]，
设T_n=1•

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+…+（n-1）

1

2n-1

+n

1

2n

   ①
所以

1

2

T_n=1•

1

22

+2•

1

23

+3•

1

24

+…+（n-1）

1

2n

+n

1

2n+1

  ②
①-②可得

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-n

1

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n

1

2n+1

=1-

1

2n

-n

1

2n+1

=1-

n+2

2n+1

，
故T_n=2-

n+2

2n

，故S_n=

n

2

+2-

n+2

2n

=

n+4

2

-

n+2

2n

点评：本题考查等比关系的确定和错位相减法求和，属中档题．