Question

设x₁，x₂分别是实系数方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一个根，且x₁≠x₂，x₂≠0，
求证：方程x²+bx+c=0有仅有一根介于x₁和x₂之间。

Answer 1

解：令f（x）=x²+bx+c，由题意可知ax₁²+bx₁+c=0，-ax₂²+bx₂+c=0
bx₁+c=-ax₁²，bx₂+c=ax₂²，f（x₁）=x₁²+bx₁+c=x₁²-ax₁²=-x₁²，
f（x₂）=x₂²+bx₂+c=x₂²+ax₂²=x₂²，因为a≠0，x₁≠0，x₂≠0
∴f（x₁）f（x₂）<0，即方程x²+bx+c有仅有一根介于x₁和x₂之间。