Question

若过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为a，则该椭圆的离心率为

2

2

．

Answer 1

分析：根据题意，设过椭圆的右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，设A的坐标为（c，y₀），根据椭圆方程算出|y₀|=

b2

a

，从而得到AB=

2b2

a

=a，可得a²=2b²，由此算出c=

2

2

a，即可得到该椭圆的离心率．

解答：解：设过椭圆的右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，
可设A的坐标为（c，y₀），
∴

c2

a2

+

y02

b2

=1，解之得y₀²=

b4

a2

，可得|y₀|=

b2

a

因此，AB=

2b2

a

=a，可得a²=2b²，
∴c=

a2-b2

=

2

2

a，可得椭圆的离心率e=

c

a

=

2

2

故答案为：

2

2

点评：本题给出椭圆的通径长等于它的半长轴a，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识点，属于基础题．