Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n=a-2ⁿ-3（a为常数），且a₁=3．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：当n=1时，a₁=S₁=a•2-3=3，a=3
当n≥2时，a_n=S _n-S_n-1=（3•2ⁿ-3）-（3•2^n-1-3）=3•2^n-1-，
且对n=1也符合，所以a_n=3•2^n-1．
（II）b_n=n•a_n=3n•2^{n-1． 3n•2n-1}
T_n=3•2⁰+6•2¹+…+3n•2^n-1 ①
2T_n=3•2¹+6•2²+…+3（n-1）•2^n-1+3n•2ⁿ ②
两式相减，得-T_n=3+3（2¹+2²+…2 ^n-1）-3n•2ⁿ
=3+3（2ⁿ-2）-3n•2ⁿ=3（1-n）•2ⁿ-3，
∴T_n=3（n-1）•2^n₊3．
分析：（I）当n=1时，a₁=S₁=a•2-3=3，a=3．当n≥2时，利用a_n=S _n-S_n-1=求解．
（II）b_n=n•a_n=3n•2^n-1利用错位相消法求解即可．
点评：本题考查数列通项公式求解，错位相消法数列求和，考查转化、计算能力．