Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1处的切线与直线x+2y-2=0互相垂直，且导函数f′（x）的图象关于直线对称．
（1）求a，b的值；（2）若f（x）的图象与g（x）=x²的图象有且仅有三个公共点，求c的取值范围．

Answer 1

解：（1）因f（x）=x³+ax²+bx+c，故f′（x）=3x²+2ax+b
从而y=f′（x）关于直线x=-对称，
从而由条件可知-=，解得a=-1
又由于f′（x）=2，即3+2a+b=2，解得b=1．
（2）由（1）知f（x）=x³-x²+x+c，
设F（x）=f（x）-g（x）=x³-2x²+x+c，
F′（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1）
令F′（x）=0得x=1或x=，列表：

从而f（x）在x=处取到极大值f（）=，在x=1处取到极小值f（1）=c．
若f（x）的图象与g（x）=x²的图象有且仅有三个公共点，
只须?
∴c的取值范围：．
分析：（1）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=2，即可求出b；
（2）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值，最后利用根值点得出f（x）的图象与g（x）=x²的图象有且仅有三个公共点时，c的取值范围．．
点评：本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．