Question

如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）设M是线段BD上的一个动点，问当

BM

BD

的值为多少时，可使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设M（t，t，0）．通过AM∥平面BEF，求出点M坐标为（2，2，0），即可得到

BM

BD

的值．
（Ⅱ）求出平面BDE的法向量

CA

=（3，-3，0）和平面BEF的法向量

m

，利用向量法能求出二面角F-BE-D的余弦值．

解答：解：（Ⅰ） 当

BM

BD

=

1

3

时，可使得AM∥平面BEF．
证明过程如下：
因为DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．
所以DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE分
别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，
所以

ED

DB

=tan60°=

3

．
由AD=2可知DE=3

6

，AF=

6

．
则A（3，0，0），F（3，0，

6

），E（0，0，3

6

），
B（3，3，0），C（0，3，0），
所以

BF

=（0，-3，

6

），

EF

=（3，0，-2

6

），（8分）
设平面BEF的法向量为

m

=（x，y，z），则

m

•

BF

=0，

m

•

EF

=0，
∴

-3y+ 6 z=0 3x-2 6 z=0

，解得

m

=（4，2，

6

）．
点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则

AM

=（t-3，t，0），
因为AM∥平面BEF，所以

AM

•

m

=0，即4（t-3）+2t=0，解得t=2．
此时，点M坐标为（2，2，0），

BM

BD

=

1

3

符合题意．
（Ⅱ）因为AC⊥平面BDE，所以

CA

为平面BDE的法向量，
∵

CA

=（3，-3，0），平面BEF的法向量

m

=（4，2，

6

）．
所以cos＜

m

，

CA

＞=

12-6+0

26 • 18

=

13

13

．
因为二面角为锐角，
所以二面角F-BE-D的余弦值为

13

13

．（8分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间向量与空间直角坐标系的应用．