Question

已知两定点A（-t,0）和B（t，0），t＞0.S为一动点，SA与SB两直线的斜率乘积为.

（1）求动点S的轨迹C的方程，并指出它属于哪一种常见曲线类型；

（2）当t取何值时，曲线C上存在两点P、Q关于直线x-y-1=0对称？

Answer 1

解析：（1）设S（x，y），SA的斜率k₁=(x≠-t)，

SB斜率k₂=(x≠t),

由题意，得(x≠±t),

经整理，得-y²=1(x≠±t).

点S的轨迹C为双曲线（除去两顶点）.

（2）假设C上存在这样的两点P（x₁，y₁)和Q（x₂，y₂）,

则PQ直线斜率为-1，且P、Q的中点在直线x-y-1=0上.设PQ直线方程为：y=-x+b，

由整理得（1-t²）x²+?2t²bx-t²b²-t²=0.

其中1-t²=0，方程只有一个解，与假设不符.

当1-t²≠0时，Δ＞0，Δ=（2bt²）²-4(1-t²)(-t²b²-t²)=4t²(b²+1-t²)，

所以t²＜b²+1，                                                                  ①

又x₁+x₂=-，

所以.

代入y=-x+b，得.

因为P、Q中点为（）在直线x-y-1=0上，

所以有：--1=0，整理得t²=,                   ②

解①②，得-1＜b＜0,0＜t＜1，经检验，得：当t取（0，1）中任意一个值时，曲线C上均存在两点关于直线x-y-1=0对称.