Question

（2013•青岛一模）已知函数f（x）=2^x-1，对于满足0＜x₁＜x₂的任意x₁，x₂，给出下列结论：
（1）（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0    
（2）x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）
（3）f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁           
（4）

f(x1)+f(x2)

2

＞f（

x1+x2

2

）
其中正确结论的序号是（　　）

A．（1）（2）

B．（1）（3）

C．（2）（4）

D．（3）（4）

Answer 1

分析：本题要借助指数函数的图象与性质来研究，对四个命题的形式加以变化变成规范的形式，利用相关的性质判断即可．
对于选项（1）由于）（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0 等价于

f( x 2)-f( x 1)

x 2-x 1

＜0故可借助函数的图象的单调性得出结论
对于选项（2）由于x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）等价于

f( x 2)

x 2

＞

f( x 1)

x 1

，可借助函数图象上点的几何意义得出结论
对于选项（3）由于f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁?

f( x 2)-f( x 1)

x 2-x 1

＞1，故可借助函数的图象上点的切线斜率变化规律得出结论
对于选项（4）

f(x1)+f(x2)

2

＞f（

x1+x2

2

）说明函数是一个凹函数，以此由函数图象即可得出结论．

解答：解（1）∵f（x）=2^x-1为R上的单调增函数，故满足0＜x₁＜x₂的任意x₁，x₂，总有f（x₁）＜f（x₂），即f（x₂）-f（x₁）＞0，∴（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＞0，故（1）错误；
（2）设y=

f(x)

x

=

2x-1

x

=

f(x)-0

x-0

，其几何意义为f（x）图象上的点与原点连线斜率，由函数f（x）=2^x-1在（0，+∞）上的图象可知y=

f(x)

x

为增函数，∵0＜x₁＜x₂，
∴

f(x 1)

x 1

＜

f(x 2)

x 2

，即x₂f（x₁）＜x₁f（x₂），（2）正确；
（3）∵函数f′（x）=2^xln2，由x＞0，∴2^xln2∈（ln2，+∞），即存在x₀，使f′（x₀）＜1，而f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁?

f( x 2)-f( x 1)

x 2-x 1

＞1?函数f（x）在所给的区间上导数值恒大于1，∴（3）错误；
（4）

f(x1)+f(x2)

2

＞f（

x1+x2

2

）反映函数f（x）为凹函数，由f（x）=2^x-1的图象可知此函数在（0，+∞）上确为凹函数，（4）正确
故正确结论的序号是：（2）、（4）
故选 C

点评：本题考查指数函数的图象，以及指数函数的单调性、凸凹性、变化率等性质的抽象表达，数形结合解决问题的思想方法