Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3，BC=2，D为BC的中点，点E为棱CC₁上一点.

(1)当的值为多少时，能使B₁E⊥平面ADE？请你给出证明；

(2)当=2时，求四面体ACDE的内切球的半径.

Answer 1

解：∵ABC—A₁B₁C₁是直棱柱，且AB=AC=AA₁=3，BC=2，D是BC的中点.

∴AD⊥BC，则AD⊥平面BCC₁B₁，∴AD⊥B₁E.                                 

(1)若B₁E⊥平面ADE，则B₁E⊥DE,

∴△B₁EC₁∽△EDC，

∴，设C₁E=x，则，∴x=1或x=2；

∴或=2时，B₁E⊥平面ADE.                                     

(2)依题意，EC=1，设内切球半径为r.

∵S_△ADC·EC=r(S_△ADC+S_△DCE+S_△ACE+S_△ADE)，

∴=r(+1+3+×)=r(+8)，

∴r=，∴=2时，四面体ACDE的内切球半径为.