Question

11．已知命题p：“?x∈[-2，-1]，x²-2x-a≥0”，命题q：“?x∈（2，4），x²-2x-a=0”
（1）若p为真，求实数a的范围；
（2）若q为真，求实数a的范围；
（3）若“p∨q”为真，而“p∧q”为假，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=x²-2x-a，通过判断f（x）在[-2，-1]上的单调性求该函数在[-2，-1]上的最小值f（-1）=3-a，所以只需3-a≥0，这便求出p为真时的实数a的范围；
（2）容易判断f（x）在（2，4）上单调递增，所以q为真时，$\left\{\begin{array}{l}{f（2）＜0}\\{f（4）＞0}\end{array}\right.$，这样即可求出a的范围；
（3）容易判断出p，q一真一假，所以求出p真q假，p假q真这两种情况下a的范围再求并集即可．

解答 解：设f（x）=x²-2x-a；
（1）f（x）的对称轴为x=1；
∴该函数在[-2，-1]上单调递减；
∴x=-1时，f（x）在该区间上取最小值3-a；
∴若命题p为真，则3-a≥0，a≤3；
∴若p为真，实数a的范围为（-∞，3]；
（2）函数f（x）在（2，4）上单调递增；
∴若使f（x）=0在该区间上有解，则：
$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=-a＜0}\\{f（4）=8-a＞0}\end{array}\right.$；
解得0＜a＜8；
∴若q为真，实数a的范围为（0，8）；
（3）p∨q为真，p∧q为假；
∴p，q中一真一假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤3}\\{a≤0，或a≥8}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞3}\\{0＜a＜8}\end{array}\right.$；
∴解得a≤0，或3＜a＜8；
∴此时实数a的范围为（-∞，0]∪（3，8）．

点评 考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，根据函数的单调性求最值，单调函数在开区间上存在零点的充要条件，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的关系．