Question

求证：关于x的方程x²+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.?

Answer 1

证明：(1)充分性.?

∵m≥2,∴Δ=m²－4≥0,方程x²+mx+1=0有实根.?

设x²+mx+1=0的两个实根为x₁、x₂,由根与系数的关系知x₁·x₂=1>0,x₁+x₂=－m≤－2,?

∴x₁、x₂同为负实根.?

充分性得证.?

(2)必要性.?

∵x²+mx+1=0的两个实根x₁、x₂均为负，且x₁·x₂=1,?

∴m－2=－(x₁+x₂)－2=－(x₁+)－2?

=－≥0.?

故m≥2.必要性得证.?

∴方程x²+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.?

点评：充要条件的证明，首先要分清条件和结论，明白充分性和必要性，然后再加以证明.?

求证：“p成立的充要条件是q”，应分两个命题来证明：?

(1)先证充分性.充分性是指证什么呢？我们不妨把“求证：p成立的充要条件是q”中的“充要”改成“充分”，即证“p成立的充分条件是q”，即证“pq”.

(2)再证必要性.必要性是指证什么呢？我们不妨把“求证：p成立的充要条件是q”中的“充要”换成“必要”，即证“p成立的必要条件是q”，即证“pq”.