Question

18

Answer 1

方法一

(1)证：∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC                                                       

又∵CDÌ平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC　　

(2)解：∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，故AB⊥BD
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角         

∵在Rt△BCD中，BC = CD，∴∠CBD = 45°
即二面角C－AB－D的大小为45°            

(3)解：过点B作BH⊥AC，垂足为H，连结DH
∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，
∴∠BDH为BD与平面ACD所成的角         

设AB = a，在Rt△BHD中，，
∴
又，∴                                                                                       

方法二
(1)同方法一                                                                                                               

(2)解：设以过B点且∥CD的向量为x轴，为y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB = a，则A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)， = (1，1，0)， = (0，0，a)
平面ABC的法向量 = (1，0，0)
设平面ABD的一个法向量为n = (x，y，z)，则

取n = (1，－1，0)                           6分

∴二面角C－AB－D的大小为45°                                                                           

(3)解： = (0，1，－a)， = (1，0，0)， = (1，1，0)
设平面ACD的一个法向量是m = (x，y，z)，则
∴可取m = (0，a，1)，设直线BD与平面ACD所成角为，则向量、m的夹角为
故                                                                       

即
又，∴