Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A、B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB的斜率互为相反数．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率，椭圆经过点M和隐含条件a²=b²+c²联立解方程组可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直接把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于0即可求得m的取值范围；
（Ⅲ）设出两直线斜率，把两直线的斜率和转化为直线与椭圆的两个交点的坐标之间的关系，利用根与系数关系代入化简整理即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，因为，所以，
所以a²=4b²，
又因为M（4，1）在椭圆上，所以，两式联立解得b²=5，a²=20，
故椭圆方程为；
（Ⅱ）将y=x+m代入并整理得5x²+8mx+4m²-20=0，
△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，解得-5＜m＜5；
（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，只要证明k₁+k₂=0即可．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，．      
．
分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=．
所以直线MA、MB的斜率互为相反数．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了“设而不求”的解题方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．