Question

空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE
（1）求DE的长
（2）求证OA⊥BC．

Answer 1

分析：（1）连接AE，OE，由题设知OE=AE=

3

2

，所以△OEA是等腰三角形．DE⊥AO，由此能求出DE的长．
（2）要证OA⊥BC，只要证明

OA

⊥

BC

，即证明

OA

•

BC

=0即可

解答：解：（1）连接AE，OE，因空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，
D，E是OA，BC的中点，所以，OE=AE=

3

2

所以△AEO是等腰三角形．
所以DE⊥AO，
因此，DE=

EO2-OD2

=

3 4 - 1 4

=

2

2

．（8分）
（2）证明：∵

OA

•

BC

=

OA

•(

OC

-

OB

)=

OA

•

OC

-

OA

•

OB

=

1

2

-

1

2

=0
∴

OA

⊥

BC

即OA⊥BC…（12分）

点评：本题考查点、线、面间的距离计算，注意立体几何性质的合理运用，恰当地把空间问题等价转化为平面问题进行计算．