Question

记集合A={x|f（x）=x，x∈R}，B={x|f（f（x））=x，x∈R}．
（Ⅰ）令函数f（x）=x²+bx+c
（1）若A≠∅，求证：B≠∅；
（2）若A=∅，判断B是否也为空集；
（Ⅱ）（1）证明A⊆B；
（2）若f（x）为增函数，研究集合A和B之间的关系，并证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）解：由f（x）=x²+bx+c得f（f（x））=f²（x）+bf（x）+c及c=f（x）-x²-bx
由f（f（x））=x得到f²（x）+bf（x）+c=x，即f²（x）+bf（x）+f（x）-x²-bx=x
整理得到f²（x）-x²+b（f（x）-x）+（f（x）-x）=0，即（f（x）-x）（f（x）+x+b+1）=0①
即f（x）-x=0或f（x）+x+b+1=0，
即x²+（b-1）x+c=0②或x²+（b+1）x+b+c+1=0③
方程②的判别式△=（b-1）²-4c
方程③的判别式
（1）若A≠?，即f（x）-x=0有解，即x²+（b-1）x+c=0有解，即△≥0，则①有解，即B≠?
（2）若A=?，即△＜0，则△₁＜0，②和③均无解，则①无解，即B=?----------------
（Ⅱ）（1）证明：若A=?，则A⊆B
若A≠?，任取x₀∈A，则f（x₀）=x₀，则f（f（x₀））=f（x₀）=x₀，
即x₀∈B，即A⊆B--------------------------------------------
（2）解：任取x₀∈B，则f（f（x₀））=x₀，
若x₀＞f（x₀），因为函数f（x）为增函数，则f（x₀）＞f（f（x₀））=x₀，产生矛盾；
若x₀＜f（x₀），因为函数f（x）为增函数，则f（x₀）＜f（f（x₀））=x₀，产生矛盾，
则x₀=f（x₀），即x₀∈A，则B⊆A
再由（1）得A=B-------------------------------------
分析：（I）（1）先确定方程，再结合根的判别式，可得结论；
（2）A=∅，方程无解，结合根的判别式，可得结论；
（II）（1）分类讨论，利用集合包含关系的定义，可得结论；
（2）任取x₀∈B，则f（f（x₀））=x₀，分类讨论，可得x₀=f（x₀），即x₀∈A，则B⊆A，从而可得结论．
点评：本题考查集合的包含关系，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数字思想，属于中档题．