Question

函数f（x）=

1

2

x²+x-2lnx+a在区间（0，2）上恰有一个零点，则实数a取值范围是

{a|a=-

3

2

，或a≤2ln2-4}

．

Answer 1

分析：由题设条件利用导数性质推导出f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，要使f（x）在（0，2）上恰有一个零点，需要f（1）=0或f（2）＜0，由此能求出实数a取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=

1

2

x²+x-2lnx+a，
∴函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=x-

2

x

+1=

(x+2)(x-1)

x

，
f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
要使f（x）在（0，2）上恰有一个零点，
结合其图象和性质，需要f（1）=

1

2

+1-0+a=0或f（2）=

1

2

×4+2-2ln2+a＜0，
解得a=-

3

2

，或a≤2ln2-4．
故答案为：{a|a=-

3

2

，或a≤2ln2-4}．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．