Question

已知函数f（x）=．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性；
（3）在（2）的条件下，记f^-1（x）为f（x）的反函数，若关于x的方程f^-1（x）=5k•2^x-5k有解，求k的取值范围．

Answer 1

解：（1），
所以当a＞0时，定义域为（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞）
当a＜0时，定义域为（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）；
当a=0时，定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）
（2）函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，
当且仅当-2a-1=-（3a-1）?a=2，
此时，．
对于定义域D=（-∞，-5）∪（5，+∞）内任意x，-x∈D，
，所以f（x）为奇函数；
当x∈（5，+∞），f（x）在（5，+∞）内单调递减；
由于f（x）为奇函数，所以在（-∞，-5）内单调递减；
（3），x≠0
方程f^-1（x）=5k?2^x-5k即，令2^x=t，则t＞0且t≠1，得，
又，所以当k＞0，f^-1（x）=5k?2^x-5k解．
分析：（1）求函数的定义域，即真数大于零，解含参数的不等式；
（2）利用定义域关于原点对称，求出a的值；然后再看f（x）与 f（-x）的关系，确定函数的奇偶性；
（3）求出函数的反函数，分离参数，转化为求函数的值域．
点评：考查了分类讨论的思想方法，换元的思想方法；函数奇偶性的判定；特别注意换元后，新变量的取值范围，属难题．