Question

如图，在四棱锥P―ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=。

（I）设M是PC上的点，证明平面MBD⊥平面PAD;

（II）求四棱锥P―ABCD的体积.

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：在△ABD中，

由于AD=4,BD=8,AB=，

所以AD²+BD²=AB².

故   AD⊥BD.

又  平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD,平面ABCD，

所以  BD⊥平面PAD,

又    平面MBD，

故     平面MBD⊥平面PAD.

（Ⅱ）解：过P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，

所以PO⊥平面ABCD.

因此 PO为四棱锥P-ABCD的高，

又 △PAD是边长为4的等边三角形，

因此

在底面四边形ABCD中，AB∥DC,AB=2DC,

所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为

此即为梯形ABCD的高，

所以四边形ABCD的面积为

故