Question

有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用A地每公里的费用是B地每公里运费的3倍，已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是包括运费和价格的总费用较低，求P点居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？

Answer 1

答案：
解析：

解：如图所示，以A，B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系． 　　∵|AB|＝10， 　　∴A(－5，0)，B(5，0)，设P(x，y)，P到A、B两地购物的运费分别是3a，a(元/公里)． 　　当由P地到A、B两地购物费用相等时，有价格＋A地运费＝价格＋B地运费， 　　∴3a·，化简整理得：(x＋)2＋y2＝()2． 　　(1)当P点在以(，0)为圆心，为半径的圆上时，居民从A地或B地购货总费用相等． 　　(2)当P点在上述圆内时， 　　∵(x＋)2＋y2＜()2， 　　∴[9(x＋5)2＋9y2]－[(x－5)2＋y2]＝8[(x＋)2＋y2－()2]＜0， 　　∴， 　　故此时从A地购物合算． 　　(3)当P点在上述圆内时，同理可知，此时到B地购物最合算．

提示：

这是一个实际问题，要通过建立数学模型来解决．要判断曲线的形状，实际上是求曲线的轨迹，宜用解析法．