Question

等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=

 

．

Answer 1

分析：列举等比数列的前n项和的各项，求出首项和公比即可求出数列的通项公式，然后得到a_n²的通项公式发现也为等比数列，根据等比数列的前n项和的公式求出即可．

解答：解：令n=1，得到a₁=s₁=2¹-1=1；
令n=2，得到a₁+a₂=s₂=2²-1=3，得到a₂=2，
所以等比数列的首项为1，公比为2，
得到a_n=2^n-1；
则a_n²=2^2n-2=4^n-1，是首项为1，公比为4的等比数列，
所以a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=

1-4n

1-4

=

4n-1

3

；
故答案为

4n-1

3

．

点评：此题考查学生会根据数列的前n项的和求出等比数列的通项公式，且会根据首项和公比求等比数列的前n项的和，学生做题时注意利用列举法求数列的各项．