Question

已知数列{a_n}中，a₁=-1，且(n+1)a_n，(n+2)a_n+1，n成等差数列.

（1）设b_n=(n+1)a_n-n+2，求证：数列{b_n}是等比数列；

（2）求{a_n}的通项公式；

（3）若a_n-b_n≤kn对一切n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围.

Answer 1

(1)证明:(n+2)a_n+1=(n+1)a_n+, ∵b₁=2a₁-1+2=-1,

====,

∴数列{b_n}是等比数列.

(2)解:由(1)得b_n=-()^n-1,即(n+1)a_n-n+2=-()^n-1.∴a_n=()^n-1+.

(3)解:∵a_n-b_n=()^n-1+,∴a_n-b_n≤kn,即k≥()^n-1+.

设c_n=()^n-1,d_n=,e_n=()^n-1+,

则c_n随着n的增大而减小.

∵d_n+1-d_n==,

∴n≥5时,d_n+1-d_n＜0,d_n+1＜d_n,d_n随着n的增大而减小,

则n≥5时,e_n随着n的增大而减小.

∴e₁=0,e₂=,e₃=,e₄=,e₅=.则e₁＜e₂＞e₃＞e₄＞e₅＞…….∴e₂=最大.

∴实数k的取值范围k≥.