Question

判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；

（3）；（4）

Answer 1

⑴奇函数，⑵既不是奇函数也不是偶函数，⑶奇函数，⑷奇函数

解析:

判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。

（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.

∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），

∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.

（2）先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.

（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.

由得

故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.

从而有f（x）= =，∴f（－x）==－=－f（x）

故f（x）为奇函数.

（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，

∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.

当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.

故函数f（x）为奇函数.

1函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则时) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件

2分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.

题型2：证明抽象函数的奇偶性