Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为           ．

 

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析：在△PF₁F₂中，由正弦定理得：，则由已知得：，

即：a|PF₁|=|cPF₂|

设点（x₀，y₀）由焦点半径公式，

得：|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex_0,则a（a+ex₀）=c（a-ex₀）

解得：x₀=，由椭圆的几何性质知：x₀＞-a则>-a

整理得e²+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），

故椭圆的离心率：e∈(-1，1)，故答案为：(-1，1)．

考点：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．

点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c的关系式的转换，进而得到离心率的范围。