Question

设x₁,x₂(x₁≠x₂)是函数f(x)=ax³+bx²-a²x(a＞0)的两个极值点.

(1)若x₁=-1，x₂=2,求f(x)的解析式；

(2)若|x₁|+|x₂|=，求b的最大值；

(3)若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，函数g(x)=f′(x)-a(x-x₁)，求证：|g(x)|≤a(3a+2)².

Answer 1

答案：f′(x)=3ax²+2bx-a²(a＞0).1分

(1)解：∵x₁=-1,x₂=2是函数f(x)的两个极值点，∴f′(-1)=0,f′(2)=0.                    

∴3a-2b-a²=0,12a+4b-a²=0，解得a=6,b=-9.                                        

∴f(x)=6x³-9x²-36x.4分

(2)解：∵x₁,x₂是f(x)的两个极值点，

∴f′(x₁)=f′(x₂)=0.

∴x₁,x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的两根.

∵Δ=4b²+12a³，

∴Δ＞0对一切a＞0,b∈R恒成立,

x₁+x₂=，x₁·x₂=.

∵a＞0,∴x₁·x₂＜0.

∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=.                           

由|x₁|+|x₂|=,得，

∴b²=3a²(6-a).

∵b²≥0，∴3a²(6-a)≥0，∴0＜a≤6.

令h(a)=3a²(6-a)，则h′(a)=-9a²+36a.

0＜a＜4时，h′(a)＞0,∴h(a)在(0，4)内是增函数；

4＜a＜6时，h′(a)＜0,∴h(a)在(4，6)内是减函数.                                  

∴a=4时，h(a)有极大值为96，∴h(a)在(0,6］上的最大值是96，

∴b的最大值是.                                                         

(3)证法一：∵x₁,x₂是方程f′(x)=0的两根，

∴f′(x)=3a(x-x₁)(x-x₂)，                                                       

∴|g(x)|=3a|x-x₁|·|x-x₂|≤3a()².

∵x₁＜x＜x₂，∴x-x₁＞0,x-x₂＜0，

∴|g(x)|≤［(x-x₁)-(x-x₂)］²=(x₂-x₁+)².

∵x₁·x₂=，x₂=a,∴x₁=.

∴|g(x)|≤·(a+)²

=a(3a+2)².                                                              

证法二：∵x₁,x₂是方程f′(x)=0的两根，

∴f′(x)=3a(x-x₁)(x-x₂)，10分

∵x₁·x₂=，x₂=a,∴x₁=.

∴|g(x)|=|3a(x+)(x-a)-a(x+)|=|a(x+)［3(x-a)-1］|.∵x₁＜x＜x₂，

∴|g(x)|=a(x+)(-3x+3a+1).

=-3a(x+)(x)

=-3a(x)²++a²+a≤+a²+.