Question

 

如图，三棱柱中，侧面底面，,

且,O为中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，

确定点的位置.

   

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）证明：因为，且O为AC的中点，

         所以.                                 ………………1分

又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，    

    所以平面.                             ………………4分

（Ⅱ）如图，以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

由题意可知，又

所以得:

则有：                                  ………………6分

设平面的一个法向量为，则有

         ，令，得

      所以.                                     ………………7分

      .                            ………………9分

      因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以.                                               ………………10分

（Ⅲ）设                        ………………11分

即，得

所以得      ………………12分

      令平面，得 ，                 ………………13分

      即得

即存在这样的点E，E为的中点.               ………………14分