Question

无穷数列{a_n}满足：(λ≥0为常数)．

(1)若a₁＝1且数列{na_n}为等比数列，求λ；

(2)已知a₁＝1，λ＝3，若50＜a_m＜80，求m；

(3)若存在正整数N，使得当n＞N时，有a_n+1＜a_n，求证：存在正整数M，使得当n＞M时，有a_n＜0．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1) 　　 　　由为等比数列，知λn－2与n无关，故λ＝0． 　　当λ＝0时，数列是以１为首项，以－2为公比的等比数列． 　　(2)当λ＝3时，． 　　取n为1，2，3，，累乘得： 　　　(n≥2)． 　　∵a1＝1 　　 　　当n≥2时，． 　　而a4＜50，a5＝56，a6＞80， 　　∴m＝5 　　(3)当λ＝0时，，说明an+1与an异号，此时不存在正整数N，使得当n＞N时，有an+1＜an． 　　当λ＞0时，必存在正整数N0(取大于的正整数即可)，使得当n＞N0时，有，即存在正整数N0，使得当n＞N0时，有； 　　因为存在正整数N，使得当n＞N时，恒有an+1＜an成立， 　　取N1为N0与N的较大者，则必存在正整数M≥N1，使得当n＞M时，an＜0． 　　∴存在正整数M，使得当n＞M时，有an＜0． 　　命题意图：数列中涉及恒成立或存在性的问题，往往和最大(小)值及单调性有关，常见做法是用an+1和an进行作差、作商、比较或构造函数来判断；通过本题的练习，希望学生能根据题目的条件和结论获取信息，抓住特点，进行代数推理论证；本题第(3)问也可用反证法说明，解题中要重视它的运用．