Question

已知f（x）=sinx-cosx．
（1）求f(

π

3

)；
（2）若x∈（0，π），且f(x)=

17

13

，求tanx的值．

Answer 1

分析：（1）将x=

π

3

代入f（x）中计算即可得到结果；
（2）根据f（x）的值列出关系式，两边平方并利用完全平方公式化简求出2sinxcosx的值，进而求出sinx+cosx的值，联立求出sinx与cosx的值，即可确定出tanx的值．

解答：解：（1）将x=

π

3

代入得：f（

π

3

）=sin

π

3

-cos

π

3

=

3 -1

2

；
（2）∵f（x）=sinx-cosx=

17

13

，
∴（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=

289

169

，即2sinxcosx=-

120

169

＜0，
∴sinx与cosx异号，
又x∈（0，π），∴x∈（

π

2

，π），
∵（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=

49

169

，
∴sinx+cosx=±

7

13

，
联立解得：sinx=

12

13

，cosx=-

5

13

或sinx=

5

13

，cosx=-

12

13

，
则tanx=-

12

5

或tanx=-

5

12

．

点评：此题考查了二倍角的正弦，以及三角函数的化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．