Question

已知函数f(x)=-alnx+(a+1)x-

1

2

x2 (a＞0)
（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f(x)≥-

1

2

x2+ax+b恒成立，求实数ab的最大值．

Answer 1

分析：（1）求导数，利用x=1是函数f（x）的极大值点，确定a的范围，即可得到函数f（x）的单调递减区间；
（2）构造函数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论．

解答：解：（1）求导数可得，f′（x）=

(x-a)(-x+1)

x

∵x=1是函数f（x）的极大值点，
∴0＜a＜1
∴函数f（x）的单调递减区间为（0，a），（1，+∞）；
（2）∵f(x)≥-

1

2

x2+ax+b恒成立，
∴alnx-x+b≤0恒成立，
令g（x）=alnx-x+b，则g′（x）=

a-x

x

∴g（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减
∴g（x）_max=g（a）=alna-a+b≤0
∴b≤a-lna，∴ab≤a²-a²lna
令h（x）=x²-x²lnx（x＞0），则h′（x）=x（1-2lnx）
∴h（x）在（0，e

1

2

）上单调递增，在（e

1

2

，+∞）上单调递减
∴h（x）_max=h（e

1

2

）=

e

2

，∴ab≤

e

2

即ab的最大值为

e

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调区间，考查函数的最值，正确构造函数是关键．