Question

已知函数f（x）=ax²+（a²+1）x+1（-3＜a＜-1）若m＜n，m+n=3+a则（ ）
A．f（m）＜f（n）
B．f（m）=f（n）
C．f（m）＞f（n）
D．f（m）与f（n）的大小不能确定

Answer 1

【答案】分析：根据题意可知函数f（x）=ax²+（a²+1）x+1为开口向下的抛物线，函数的对称轴为x=-，可根据-3＜a＜-1，确定其取值范围，再结合条件m＜n，m+n=3+a，分析m、n哪个离对称轴远，从而得到答案．
解答：解：∵-3＜a＜-1，函数的对称轴为x=-=--=（-a-），
令t=-a，则1＜t＜3，x=（t+），
∵x′=（1-）＜0，
∴x=（t+）在（1，3）上是减函数，
∴函数x=-在（-3，-1）上单调递减，
∴x＞x（-1）=1，
x=--＜x（-3）==，即对称轴x=-∈（1，），
又m＜n，m+n=3+a，=∈（0，1），
∴m比n离对称轴较远，由-3＜a＜-1＜0得，函数f（x）=ax²+（a²+1）x+1为开口向下的抛物线，
故f（m）＜f（n）．
故选A．
点评：本题考查二次函数的性质，难点在于对称轴x=-范围的确定与=∈（0，1）的理解与应用，属于难题．