Question

已知y=f（x）的定义域为R，且恒有等式2f（x）+f（-x）+2^x=0对任意的实数x成立．
（Ⅰ）试求f（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论f（x）在R上的单调性，并用单调性定义予以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由2f（x）+f（-x）+2^x=0得到2f（-x）+f（x）+2-^x=0；两个方程联立即可求出求f（x）的解析式；
（Ⅱ）直接根据单调性的证明过程（取值，作差，变形，定号）证明即可．（注意整理过程不能出错）

解答：解：（Ⅰ）∵2f（x）+f（-x）+2^x=0       ①对任意的实数x成立；
∴2f（-x）+f（x）+2^-x=0     ②；
①×2-②得：3f（x）+2×2^x-2^-x=0⇒f（x）=

1

3

（2^-x-2×2^x）；
（Ⅱ）函数在实数集上递减．
证明：任取a＜b，
则f（a）-f（b）=

1

3

（2^-a-2×2^a）-

1

3

（2^-b-2×2^b）
=

1

3

[（2^-a-2^-b）-2×（2^a-2^b）]
=

1

3

[（

1

2a

-

1

2b

）-2×（2^a-2^b）]
=

1

3

（2^b-2^a）（

1

2a+b

+2）；
∵a＜b；
∴2^b-2^a＞0，2^a+b＞0；
∴（2^b-2^a）（

1

2a+b

+2）＞0；
∴f（a）-f（b）＞0⇒f（a）＞f（b）．
∴函数f（x）在R上递减．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力．