Question

设等差数列{a_n}的首项a₁为a，公差d＝2，前n项和为S_n．

(Ⅰ)若S₁，S₂，S₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)证明：n∈N*，S_n，S_n+1，S_n+2不构成等比数列．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：因为Sn＝na＋n(n－1)， 　　S1＝a，S2＝2a＋2，S4＝4a＋12．由于S1，S2，S4成等比数列，因此 　　＝S1·S4，即得a＝1．an＝2n－1．　6分 　　(Ⅱ)证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，Sm，Sm+1，Sm+2构成等比数列，即．因此 　　a2＋2ma＋2m(m＋1)＝0， 　　要使数列{an}的首项a存在，上式中的Δ≥0．然而 　　Δ＝(2m)2－8m(m＋1)＝－4m(2＋m)＜0，矛盾． 　　所以，对任意正整数n，Sn，Sn+1，Sn+2都不构成等比数列．　14分

提示：

本题主要考查等差数列、等比数列概念、求和公式等基础知识，同时考查推理论证能力及分析问题解决问题的能力．满分14分．