Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面EAC；
（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接BD与AC相交于点O，连接EO．可得EO是△PBD的中位线，所以PB∥EO，结合线面平行的判定定理，即可证出PB∥平面EAC；
（Ⅱ）由PA⊥平面PDC，得到PA⊥CD，结合正方形中AD⊥CD，证出CD⊥平面PAD．根据平面ABCD经过平面PAD的垂线，即可得到平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅲ）取AD中点M，BC中点N，连接PM，MN．根据（II）证出的位置关系，可得MP、MA、MN两两垂直，因此分别以MA、MN、MP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系．设AB=4，可得A、B、C、D、P、E各点的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法，列方程组解出平面EAC的法向量为

n

=（1，1，3）．再根据平面ABCD的法向量为

v

=（0，0，1），利用向量的夹角公式算出

n

与

v

夹角余弦之值，即可得到二面角E-AC-B的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）连接BD与AC相交于点O，连接EO．
∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD中点．
∵E为棱PD中点．
∴EO是△PBD的中位线，可得PB∥EO．          …（3分）
∵PB?平面EAC，EO?平面EAC，
∴直线PB∥平面EAC．  …（4分） 
（Ⅱ）∵PA⊥平面PDC，CD?平面PDC
∴PA⊥CD．            …（5分）
∵正方形ABCD中，AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内的相交直线
∴CD⊥平面PAD．                                      …（7分）
∵CD?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．                              …（8分）
（Ⅲ）取AD中点M，BC中点N，连接PM，MN．
∵正方形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∴MN∥CD．
由（Ⅱ）可得MN⊥平面PAD．
∵PA=PD，M是AD中点，∴PM⊥AD．
因此，MP、MA、MN两两垂直，
分别以MA、MN、MP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系 …（9分）
设AB=4，则可得A（2，0，0），B（2，4，0），C（-2，4，0），
D（-2，0，0），P（0，0，2），E（-1，0，1）．
所以 

EA

=（3，0，-1），

AC

=（-4，4，0）．
设平面EAC的法向量为

n

=（x，y，z），则有

n • EA =0 n • AC =0

，可得 

3x-z=0 -4x+4y=0

 
 取x=1，得y=1，z=3，所以

n

=（1，1，3）．              …（11分）
由题意，易得平面ABCD的法向量为

v

=（0，0，1）．                     …（12分）
∴cos＜

n

，

v

＞=

n • v

| n |•| v |

=

3 11

11

．                          …（13分）
结合图形，可得二面角E-AC-B的平面角是钝角，
因此，二面角E-AC-B的余弦值为-

3 11

11

．                  …（14分）

点评：本题给出四棱锥一个侧面为等腰直角三角形且该侧面与底面正方形平面互相垂直，求证线面平行、面面垂直并求二面角的大小．着重考查了直线与平面平行的判定、线面垂直与面面垂直的判断与性质和二面角大小的求法等知识，属于基础题．