练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    设数列{an}满足a1=1，a2=2，an=
    1
    3
    (an-1+2an-2)(n∈N*且n≥3)    ，bn=
    1n为奇数
    -1n为偶数

    （1）求an；
    （2）若cn=nanbn，n∈N*，求{cn}的前n项和Sn．
    （1）由an=
    1
    3
    (an-1+2an-2)    得，an-an-1=-
    2
    3
    (an-1-an-2)
    又a2-a1=1≠0∴
    an-an-1
    an-1-an-2
    =-
    2
    3
    (n∈N*，n≥3)
    ∴数列{an+1-an}是首项为1，公比为-
    2
    3
    的等比数列…（3分）∴an+1-an=(-
    2
    3
    )n-1
    从而，an-an-1=(-
    2
    3
    )n-2    an-1-an-2=(-
    2
    3
    )n-3    …a2-a1=1
    以上各式相加得，an-a1=1+(-
    2
    3
    )+…+(-
    2
    3
    )n-2=
    1-(-
    2
    3
    )    n-1
    1+
    2
    3

    ∴an=
    8
    5
    -
    3
    5
    (-
    2
    3
    )n-1    …（6分）
    （2）∵bn=
    1n为奇数
    -1n为偶数
    ，且cn=nanbn，n∈N*
    ∴cn=
    8
    5
    n-
    3
    5
    (-
    2
    3
    )n-1n，n为奇数
    -
    8
    5
    n+
    3
    5
    (-
    2
    3
    )n-1n，n为偶数
    …（8分）
    又Sn=c1+c2+…cn∴当n为奇数时，
    Sn=(
    8
    5
    -2×
    8
    5
    +3×
    8
    5
    -4×
    8
    5
    +…+n×
    8
    5
    )    -
    3
    5
    [1×(
    2
    3
    )    0    +2×(
    2
    3
    )    1    +3×(
    2
    3
    )    2    +…+n×(
    2
    3
    )    n-1    ]
    =
    4
    5
    (1+n)-
    3
    5
    [1×(
    2
    3
    )    0    +2×(
    2
    3
    )    1    +3×(
    2
    3
    )    2    +…+n×(
    2
    3
    )    n-1    ]
    当n为偶数时，
    Sn=(
    8
    5
    -2×
    8
    5
    +3×
    8
    5
    -4×
    8
    5
    +…-n×
    8
    5
    )    -
    3
    5
    [1×(
    2
    3
    )    0    +2×(
    2
    3
    )    1    +3×(
    2
    3
    )    2    +…+n×(
    2
    3
    )    n-1    ]
    =-
    4
    5
    n-
    3
    5
    [1×(
    2
    3
    )    0    +2×(
    2
    3
    )    1    +3×(
    2
    3
    )    2    +…+n×(
    2
    3
    )    n-1    ]    …（10分）
    令Tn=1×(
    2
    3
    )0+2×(
    2
    3
    )1+3×(
    2
    3
    )2+…+n×(
    2
    3
    )n-1    …（1）
    2
    3
    Tn    =1×(
    2
    3
    )1+2×(
    2
    3
    )2+3×(
    2
    3
    )3+…+n×(
    2
    3
    )n    …（2）
    则由（1）（2）得，
    1
    3
    Tn    =1+(
    2
    3
    )+(
    2
    3
    )2+(
    2
    3
    )3+…+(
    2
    3
    )n-1-n(
    2
    3
    )n    =
    1-(
    2
    3
    )    n
    1-
    2
    3
    -n(
    2
    3
    )n
    ∴Tn=9-(9+3n)(
    2
    3
    )n
    故Sn=
    4n-23
    5
    +
    27+9n
    5
    (
    2
    3
    )n，n为奇数
    -
    4n+27
    5
    +
    27+9n
    5
    (
    2
    3
    )n，n为偶数
    …（16分）
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足a1=1，且对任意的n∈N*，点Pn（n，an）都有
    .
    PnPn+1
    =(1，2)    ，则数列{an}的通项公式为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如：若cn=
    4n-1，当n为奇数时
    4n+9，当n为偶数时.
    则{cn}    是公差为8的准等差数列．
    （I）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．求证：{an}为准等差数列，并求其通项公式：
    （Ⅱ）设（I）中的数列{an}的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得数列Sn有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如数列cn：若cn=
    4n-1，当n为奇数时
    4n+9，当n为偶数时
    ，则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．
    （Ⅰ）求证：{an}为准等差数列；
    （Ⅱ）求证：{an}的通项公式及前20项和S20．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx满足f′(
    π
    2
    )=0    若cn=an+
    1
    2an
    ，则数列{cn}的前n项和Sn为（　　）
    A、
    n2+n
    2
    -
    1
    2n
    B、
    n2+n+4
    2
    -
    1
    2n-1
    C、
    n2+n+2
    2
    -
    1
    2n
    D、
    n2+n+4
    2
    -
    1
    2n

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足：a1=2，an+1=1-
    1
    an
    ，令An=a1a2…an，则A2013    =（　　）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案