Question

已知动圆过点M（2，0），且被y轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点M的直线交曲线C于A，B两点，若在x轴上存在定点P（a，0），使PM平分∠APB，求P点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（I）设动圆圆心的坐标为（x，y），利用垂径定理和两点间的距离公式即可得到 2²+|x|²=（x-2）²+y²，化简即可．
（II）解法1：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my+2．将直线AB的方程与曲线C的方程联立，消去x得：y²-4my-8=0．
得到根与系数的关系y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8．由PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，可得k_PA+k_PB=0．
利用斜率计算公式可得 ．将 x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式，整理得 ，
即 2my₁y₂+（2-a）（y₁+y₂）=0．把 y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8代入上式，（a+2）•m=0对任意实数m都成立，即可得到a的值；
解法2：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），①当过点M（2，0）的直线斜率不存在，
则l_AB：x=2，A，B两点关于x轴对称，x轴上任意一点P（a，0）（a≠2）均满足PM平分∠APB，不合题意．
②当过点M（2，0）的斜率k存在时（k≠0），设l_AB：y=k（x-2），与抛物线方程联立，消去y得k²x²-4（k²+1）x+4k²=0，△=32k²+16＞0，得到根与系数的关系，x₁x₂=4；由已知PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，可得k_PA+k_PB=0．以下类比解法1．
解答：解：（Ⅰ）设动圆圆心的坐标为（x，y）．
依题意，有 2²+|x|²=（x-2）²+y²，化简得 y²=4x．
所以动圆圆心的轨迹方程为y²=4x．
（Ⅱ）解法1：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my+2．
将直线AB的方程与曲线C的方程联立，消去x得：y²-4my-8=0．
所以y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8．
若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k_PA+k_PB=0．
∵P（a，0），则有 ．
将 x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式，整理得 ，
所以 2my₁y₂+（2-a）（y₁+y₂）=0．
将 y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8代入上式，
得 （a+2）•m=0对任意实数m都成立，
所以a=-2．故定点P的坐标为（-2，0）．
解法2：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当过点M（2，0）的直线斜率不存在，
则l_AB：x=2，A，B两点关于x轴对称，x轴上任意一点P（a，0）（a≠2）均满足PM平分∠APB，不合题意．
当过点M（2，0）的斜率k存在时（k≠0），设l_AB：y=k（x-2），
联立，消去y得k²x²-4（k²+1）x+4k²=0，
△=32k²+16＞0，，x₁x₂=4，
∵PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，∴k_PA+k_PB=0．
∵P（a，0），（a≠2），则有 ．
将y₁=k（x₁-2）y₂=k（x₂-2）代入上式，
整理得 ，
∴k（x₁-2）（x₂-a）+k（x₂-2）（x₁-a）=0
整理得2x₁x₂-（x₁+x₂）（2+a）+4a=0，
将，x₁x₂=4代入化简得a=-2，
故定点P的坐标为（-2，0）．
点评：本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、垂径定理、两点间的距离公式、直线过定点问题等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等