Question

已知a₁=1，b₁=7，且满足

an+1=bn-2an bn+1=3bn-4an

，求

lim

n→∞

an

bn

=（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  4

• C．4
• D．2

Answer 1

分析：根据数列递推式可得a_n+2=b_n，即数列{a_n}从第三项开始与{b_n}相同，利用

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

an+1

bn+1

=k，可得结论．

解答：解：由题意，∵a_n+1=b_n-2a_n①
∴a_n+2=b_n+1-2a_n+1②
②-①×3：a_n+2-3a_n+1=（b_n+1-3b_n）-2a_n+1+6a_n
∵b_n+1=3b_n-4a_n
∴a_n+2-3a_n+1=-2a_n+1+2a_n
∴a_n+2-a_n+1=2a_n
∴a_n+2=b_n，即数列{a_n}从第三项开始与{b_n}相同，
∵a₁=1，b₁=7，∴

a1

b1

=

1

7

，
设

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

an+1

bn+1

=k，
∴k=

lim

n→∞

bn-2an

3bn-4an

=

1-2k

3-4k

∴k=1（舍去）或k=

1

4

∴

lim

n→∞

an

bn

=

1

4

故选B．

点评：本题考查数列的极限，考查学生分析解决问题的能力，确定数列{a_n}从第三项开始与{b_n}相同是关键．