Question

已知函数f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²，x∈[-1，1]．关于x的方程f（x）=2a²有解，则实数a的取值范围是

(-∞，-

2

]∪[

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：先把函数f（x）化简为f（x）=（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2的形式，令t=2^x-2^-x，则f（x）可看作关于t的二次函数，并根据x的范围求出t的范围．
关于x的方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在[-

3

2

，

3

2

]上有解，又t≠0，把t与a分离，通过导数求出关于t的函数的范围即可得到a的范围．

解答：解：f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²=（（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2，
令t=2^x-2^-x，∵x∈[-1，1]，∴t∈[-

3

2

，

3

2

]，
则f（x）=t²-2at+2a²+2，f（x）=2a²即t²-2at+2=0，显然t≠0，
∴2a=t+

2

t

，(t+

2

t

)′=1-

2

t2

=

(t+ 2 )(t- 2 )

t2

，
当t∈（0，

2

）时，(t+

2

t

)′＜0，当t∈（

2

，

3

2

）时，(t+

2

t

)′＞0，
∴当t∈（0，

3

2

]时，t+

2

t

≥

2

+

2

2

=2

2

，
又t∈[-

3

2

，0）∪（0，

3

2

]时，t+

2

t

为奇函数，
∴t∈[-

3

2

，0]时，t+

2

t

≤-2

2

．
∴实数a的取值范围为（-∞，-

2

]∪[

2

，+∞）．
故答案为：（-∞，-

2

]∪[

2

，+∞）．

点评：本题考查了应用导数求函数的最值问题，考查了分析问题解决问题的能力，解决本题的关键是对函数f（x）进行灵活变形适当转化．