Question

为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：y=x²-200x+40000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？

Answer 1

解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本，利用月处理成本除以月处理量，即…（4分）
因为，…（6分）
当且仅当，即x=200时，才能使每吨的平均处理成本最低．…（8分）
（2）设该单位每月获利为S（元），则单位每月获利为处理二氧化碳得到可利用的化工产品价值减去月处理成本．
S=300x-y=300x-（x²-200x+40000）=-x²+500x-40000≥0…（10分）
∴100≤x≤400…（12分）
由题意可知0＜x≤300，所以当100≤x≤300时，该单位每月不亏损…（14分）
分析：（1）二氧化碳的每吨平均处理成本，利用月处理成本除以月处理量，即可得到，再利用基本不等式可求每吨的平均处理成本最低；
（2）单位每月获利为处理二氧化碳得到可利用的化工产品价值减去月处理成本，由此可建立不等式，即可求解．
点评：本题考查函数模型的构建，考查学生的阅读能力，考查解不等式，同时考查基本不等式的运用，建立函数模型是关键．