Question

已知sinαcosβ=1，则cos

α+β

2

=

 

．

Answer 1

分析：由题意及正弦函数和余弦函数的值域可得sinα=cosβ=1，或sinα=cosβ=-1，求出α和β的值，运算可得

α+ β

2

=（n+k）π+

π

4

，则得cos

α+β

2

=±

2

2

．

解答：解：∵-1≤sinα≤1，-1≤cosβ≤1，sinαcosβ=1，∴sinα=cosβ=1，或sinα=cosβ=-1，
∴α=2kπ+

π

2

，β=2nπ，或  α=2kπ-

π

2

，β=2nπ+π，k，n∈z．
故α+β=（2n+2k）π+

π

2

，∴

α+ β

2

=（n+k）π+

π

4

，∴则cos

α+β

2

=±

2

2

，
故答案为：±

2

2

．

点评：本题考查两角和差的余弦公式的应用，正弦函数和余弦函数的值域，求得

α+ β

2

=（n+k）π+

π

4

，是解题的难点和关键．