Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过点(-

3

，

1

2

)离心率e=

3

2

，
（1）求椭圆方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点，试求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

3 a2 + 1 4b2 =1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解出即得a，b；
（2）设直线方程为x-1=my，代入椭圆消掉x可得y的二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由以AB为直径的圆过原点知，

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，代入韦达定理即得m的方程，解出可得直线方程；

解答：解：（1）由题意得，

3 a2 + 1 4b2 =1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得

a2=4 b2=1

，
所以椭圆方程为：

x2

4

+y2=1．
（2）设直线方程为x-1=my，
代入椭圆方程消掉x得，（m²+4）y²+2my-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y1+y2=-

2m

m2+4

，y1y2=-

3

m2+4

，
所以x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=

4-4m2

m2+4

，
由以AB为直径的圆过原点知，

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以

4-4m2

m2+4

+

-3

m2+4

=0，解得m=±

1

2

，
所以直线方程为：x-1=±

1

2

y，化简得，y=2x-2 或 y=-2x+2．

点评：本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查学生分析问题解决问题的能力．