Question

函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)·x成立,且f(1)=0.

(1)求f(0)的值;

(2)当f(x)+2＜log_ax,x∈(0,)恒成立时,求a的取值范围.

Answer 1

解:(1)因为f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x,

令x=1,y=0,得f(1)-f(0)=2.又因为f(1)=0,所以f(0)=-2.

(2)由(1)知f(0)=-2,所以f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0)=(x+1)x,即f(x)=x²+x-2.

任取x∈(0,),f(x)+2＜log_ax恒成立,即为任取x∈(0,)时,f(x)-log_ax+2＜0恒成立,

在x∈(0,)时,f(x)为增函数,-2＜f(x)＜.

显然a＞1时,任取x∈(0,),log_ax∈(-∞,-log_a2),上式恒成立的不等式不可能.

当0＜a＜1时,任取x∈(0,),log_ax∈(-log_a2,+∞),即任取x∈(0,)时,f(x)-log_ax+2＜+log_a2.

因为任取x∈(0,),f(x)-log_ax+2＜0恒成立,

所以所以≤a＜1.