Question

已知函数f(x)＝e^x－ax，其中a＞0．

(1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；

(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x₁，f(x₁))，B(x₂，f(x₂))(x₁＜x₂)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x₀∈(x₁，x₂)，使(x₀)＝k恒成立．

Answer 1

答案：
解析：

解：令． 　　当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值 　　于是对一切恒成立，当且仅当 　　．① 　　令则 　　当时，单调递增；当时，单调递减． 　　故当时，取最大值．因此，当且仅当时，①式成立． 　　综上所述，的取值集合为． 　　(Ⅱ)由题意知， 　　令则 　　 　　 　　令，则． 　　当时，单调递减；当时，单调递增． 　　故当，即 　　从而，又 　　所以 　　因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在 　　使即成立．

提示：

本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法．第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x)1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断．