Question

　等差数列{a_n}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________.

Answer 1

210

解法一: 将S_m=30,S_2m=100代入S_n=na₁+d,得:
                                              

解法二:由知，
要求S_3m只需求m［a₁+］,
将②－①得ma₁+d=70,∴S_3m=210.
解法三:由等差数列{a_n}的前n项和公式知，S_n是关于n的二次函数，即S_n=An²+Bn(A、B是常数）.
将S_m=30,S_2m=100代入，得
,∴S_3m=A·(3m)²+B·3m=210
解法四:
S_3m=S_2m+a_2m+1+a_2m+2+…+a_3m
=S_2m+(a₁+2md)+…+(a_m+2md)
=S_2m+(a₁+…+a_m)+m·2md
=S_2m+S_m+2m²d 
由解法一知d=,代入得S_3m=210 
解法五:根据等差数列性质知 S_m,S_2m－S_m,S_3m－S_2m也成等差数列，
从而有: 2(S_2m－S_m)=S_m+(S_3m－S_2m)
∴S_3m=3(S_2m－S_m)=210
解法六:∵S_n=na₁+d,
∴=a₁+d
∴点(n,)是直线y=+a₁上的一串点，
由三点(m,),(2m,),(3m,)共线，易得S_3m=3(S_2m－S_m)=210 
解法七: 令m=1得S₁=30，S₂=100，得a₁=30,a₁+a₂=100,∴a₁=30,a₂=70
∴a₃=70+(70－30)=110
∴S₃=a₁+a₂+a₃=210