Question

20．已知直线l：ax+by-2=0平分圆x²+y²-6x-4y-12=0，若a，b均为正数，则$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值是（　　）

• A． 25
• B． 12
• C． $\frac{25}{2}$
• D． 9

Answer 1

分析 直线ax+by-2=0（a，b∈R^*）平分圆x²+y²-6x-4y-12=0，可得：直线ax+by-2=0（a，b∈R^*）经过圆心，于是a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：圆x²+y²-6x-4y-12=0化为（x-3）²+（y-2）²=25，圆心为C（3，2），
∵直线ax+by-2=0（a，b∈R^*）平分圆x²+y²-6x-4y-12=0，
∴直线ax+by-2=0（a，b∈R^*）经过圆心C（3，2），
∴3a+2b-2=0，化为$\frac{3}{2}$a+b=1．
∴$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{3}{2}$a+b）（$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$）=$\frac{13}{2}$+$\frac{3a}{b}$+$\frac{3b}{a}$≥$\frac{13}{2}$+2$\sqrt{\frac{3a}{b}•\frac{3b}{a}}$=$\frac{25}{2}$，
当且仅当a=b=$\frac{2}{5}$时取等号．
∴$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值是$\frac{25}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了圆的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．